produit scalaire : exercices avec corrigés
introduction à la notion de produit scalaire
feuille d'exos 1 : point de vue analytique
énoncés corrigés
Cette feuille comporte huit exercices de géométrie analytique. On se place dans un plan euclidien
( muni d'un produit scalaire ) et le repère utilisé est orthonormal .
exo 1 : on donne les coordonnées de six points ; certains de ces points peuvent-ils servir de sommets pour un rectangle ? un triangle isocèle rectangle ? un triangle équilatéral ?
corrigé 1
exo 2 : on donne en fonction d'un paramètre m les coordonnées de trois vecteurs ; on demande de trouver les valeurs de m rendant deux de ces vecteurs orthogonaux , deux de ces vecteurs colinéaires et un de ces vecteurs unitaire .
corrigé 2
exos 3 et 5 : on donne des coordonnées de points ; on demande de calculer des produits scalaires , d'écrire des équations cartésiennes de droites
( médiatrice , hauteur , droite ayant un vecteur normal connu ) , d'écrire des équations cartésiennes de cercles .
corrigé 3 corrigé 5
exo 4 : reconnaître des ensembles ayant une équation cartésienne du type suivant :
x2 + y2 + ax + by + c = 0
corrigé 4
exo 6 : trouver une équation cartésienne d'un ensemble de point M défini par une relation métrique du type aMA2 + bMB2 = k ou avec un produit scalaire puis le reconnaître .
corrigé 6
exos 7 et 8 : deux exercices utilisant la formule de la distance d'un point à une droite ( formule démontrée au début de l'exo 7 )
corrigé 7 corrigé 8
feuille d'exos 2 : démontrer avec le produit scalaire
Cette feuille comporte huit exercices .
exo 1 : ma démonstration préférée pour l'alignement des points de concours respectifs des hauteurs des médianes et des médiatrices d'un triangle .
corrigé 1
exo 2 : utiliser la relation de Chasles , des projetés orthogonaux , des vecteurs orthogonaux pour démontrer l'appartenance de quatre points à un même cercle .
corrigé 2
exos 3 , 4 et 9 : utiliser la propriété caractéristique du milieu (exos 3 et 4 ) , des projetés orthogonaux pour justifier la perpendicularité de deux droites .
corrigé 3 corrigé 4 corrigé 9
exo 5 : utiliser la position du centre de gravité sur une médiane d'un triangle ABC , la relation de Chasles , l'expression du produit scalaire en fonction de trois longueurs pour trouver une condition nécessaire et suffisante pour que deux médianes de ABC soient perpendiculaires .
corrigé 5
exo 6 : utiliser le produit scalaire pour démontrer que les trois hauteurs d'un triangle ABC sont concourantes : démontrer des égalités de produits scalaires de vecteurs associés à l'orthocentre de ABC et aux pieds des hauteurs de ABC .
corrigé 6
exo 7 : produit scalaire et second degré
corrigé 7
exo 8 : Des relations métriques dans un quadrilatère ABCD
corrigé 8
exo 10 et 12 : utiliser la formule du produit scalaire avec cosinus pour justifier la perpendicularité de deux droites .
corrigé 10 corrigé 12
exo 11 : utiliser les projetés orthogonaux pour justifier que trois droites sont concourantes .
corrigé 11
exo 13 : puissance d'un point par rapport à un cercle , polaire d'un point par rapport à un cercle , points cocycliques .
corrigé 13 
feuille d'exos 3 : calculer des produits scalaires et utiliser des relations métriques
Cette feuille comporte dix exercices .
exos 1 , 2 et 3 : utiliser les différentes expressions et propriétés du produit scalaire pour calculer des réels définis par des produits scalaires , par des normes ...
corrigé 1 corrigé 2 corrigé 3
exo 4 : utiliser le calcul vectoriel et le calcul de produits scalaires , de carrés de norme dans un triangle ABC avec son centre de gravité G .
corrigé 4
exo 5 : démontrer un théorème de la médiane , l'utiliser avec une configuration inscrite dans un cercle
corrigé 5
exo 6 : calculer la longueur d'une médiane dans trois situations différentes .
corrigé 6
exos 7 et 9 : reconnaître des ensembles définis par des produits scalaires , des relations métriques ( sans la notion du barycentre qui ne figure plus au programme du lycée ) .
corrigé 7 corrigé 9
exo 8 : définir métriquement les hauteurs d'un triangle et retrouver qu'elles sont concourantes .
corrigé 8
exo 10 : démontrer les formules d'Al - Kashi et les utiliser .
corrigé 10